This paper presents a formal theory of scale-dependent truths, based on two formal models: the Principle of Scale Perception Incompleteness and the Principle of Scale Information Compromise. It is proven that for any observation object and any observer, there exists a scale at which the measured properties of the object contradict properties measured at other scales. A new mathematical apparatus for describing hierarchical systems is developed and the impossibility of existence of an "objective" description independent of the observation scale is proven. The results have potential significance for philosophy of science, quantum mechanics, systems theory and artificial intelligence.
Modern science faces a fundamental problem: different disciplines give contradictory descriptions of the same object. The human organism, considered at different levels of organization — from atomic to social — demonstrates properties that seem mutually exclusive.
A new formal approach to this problem is proposed, based on the theory of scale-dependent truths. The method combines tools of mathematical logic, measure theory and philosophy of science.
An observational system is a quintuple:
where:
A property φ ∈ L of object O ∈ Ω is called strictly scale-dependent if:
and there does not exist a scale m* ∈ M such that:
An object O ∈ Ω is called hierarchical if there exists a partition:
such that for each level Li there exists a characteristic property φi ∈ L, satisfiable only at this level:
where Mi ⊆ M — set of scales adequate for observing level Li, and Mi ∩ Mj = ∅ when i ≠ j.
Consider the class of objects O ∈ Ω, |O| > 1, for which there exists at least one partition into levels satisfying Definition 2.3.
For observational system S define information measure I: 2L → ℝ⁺ as:
where Atoms(L) — set of atomic formulas of language L, with condition I(Γ) = ∞ if Γ is contradictory.
Properties of the measure:
For any non-trivial observational system S = (Ω, N, M, L, P) and for any hierarchical object O ∈ Ω with levels L₁, L₂ (by Definition 2.3) there exist properties φ₁, φ₂ ∈ L and a pair of scales (m₁, m₂) ∈ M × M such that:
Moreover, there does not exist a scale m* ∈ M giving a complete description:
Part 1: Existence of Contradictory Properties
By Definition 2.3 and Axiom 2.4, object O has at least two levels L₁ and L₂ with characteristic properties φ₁ and φ₂, where M₁ ∩ M₂ = ∅.
Choose m₁ ∈ M₁ and m₂ ∈ M₂. Then by Definition 2.3:
Thus, at different scales we obtain contradictory descriptions relative to properties φ₁ and φ₂.
Part 2: Impossibility of Complete Description
Assume the contrary: ∃ m* ∈ M such that P(O, m*) ⊨ φ₁ ∧ φ₂.
But by Definition 2.3, for any scale m ∈ M:
since M₁ ∩ M₂ = ∅ and properties φ₁, φ₂ exclude each other at any fixed scale.
Contradiction obtained. Therefore, such scale m* does not exist. □
For any observational system S = (Ω, N, M, L, P) and hierarchical object O ∈ Ω with levels L₁, L₂:
where:
With I(P(O, m₁)) > 0 and I(P(O, m₂)) > 0.
Step 1: Definition and Properties of Information Measure
By Definition 2.5, I(Γ) measures the number of atomic facts determined by theory Γ.
For any consistent Γ ⊂ L:
Step 2: Information at Different Scales
Choose m₁ ∈ M₁ and m₂ ∈ M₂. By Definition 2.3:
Thus, I(P(O, m₁)) > 0 and I(P(O, m₂)) > 0.
Step 3: Proof of Inequality
Consider union of theories: Γ = P(O, m₁) ∪ P(O, m₂)
By Theorem 3.1, Γ ⊨ φ₁ ∧ ¬φ₂ ∧ φ₂ ∧ ¬φ₁ ⇒ Γ is contradictory.
By subadditivity property of information (follows from Definition 2.5):
But since Γ is contradictory, I(Γ) = ∞, which is impossible if the right side is finite.
Therefore, must hold:
where Imax(O) — maximum information at any single scale.
Step 4: Interpretation as Uncertainty Principle
The inequality shows that the sum of information at two different scales is bounded above. Attempting to simultaneously maximize information at both scales is impossible — increasing information at one scale requires its decrease at the other. □
For a hierarchical object, there does not exist an observation scale that would simultaneously maximize information about all its organizational levels. Maximizing information about one level inevitably leads to loss of information about other levels.
Scientific statements are true only relative to a certain observation scale. There are no "absolutely true" scientific statements independent of scale.
Wave-particle duality is a special case of Theorem 3.1, where property φ = "object is a wave" depends on the observation scale.
The proposed theory offers a solution to the old philosophical dispute between reductionism and holism: both approaches are valid, but at different observation scales.
| Scale | Dominant Approach | Example Truth | Approach Limitation |
|---|---|---|---|
| Micro | Reductionism | "Water consists of H₂O molecules" | Does not explain macroscopic properties |
| Macro | Holism | "Water flows and forms waves" | Does not explain molecular structure |
| Meso | Emergence | "Surface tension of water" | Property arises only at intermediate scales |
Any scientific knowledge is fundamentally incomplete and must be accompanied by explicit indication of the observation scale within which it is true. Statements without scale indication are epistemically incorrect.
The proposed approach differs from:
Main limitations of the proposed theory:
Any sufficiently complex object in universe Ω is hierarchical in the sense of Definition 2.3. Object complexity can be formally defined through the minimum number of required description levels.
A formal theory of scale-dependent truths has been developed and two formal models proposed:
These results have far-reaching implications for:
Promising directions include:
The proposed approach suggests that objectivity in science should be understood not as independence from observer, but as consistency of descriptions at different observation scales. Scientific progress consists not in searching for the "only correct" description, but in establishing correspondences between descriptions at different scales.
В работе представлена формальная теория масштабно-зависимых истин, основанная на двух формальных моделях: Принципе неполноты восприятия масштабов и Принципе информационного компромисса масштабов. Доказано, что для любого объекта наблюдения и любого наблюдателя существует масштаб, при котором измеряемые свойства объекта противоречат свойствам, измеренным при других масштабах. Разработан новый математический аппарат для описания иерархических систем и доказана невозможность существования "объективного" описания, независимого от масштаба наблюдения. Результаты имеют потенциальное значение для философии науки, квантовой механики, теории систем и искусственного интеллекта.
Современная наука сталкивается с фундаментальной проблемой: различные дисциплины дают противоречивые описания одного и того же объекта. Человеческий организм, рассматриваемый на разных уровнях организации — от атомарного до социального — демонстрирует свойства, которые кажутся взаимно исключающими.
Предлагается новый формальный подход к этой проблеме, основанный на теории масштабно-зависимых истин. Метод объединяет инструменты математической логики, теории меры и философии науки.
Наблюдательная система есть пятерка:
где:
Свойство φ ∈ L объекта O ∈ Ω называется строго масштабно-зависимым, если:
и при этом не существует масштаба m* ∈ M такого, что:
Объект O ∈ Ω называется иерархическим, если существует разбиение:
такое, что для каждого уровня Li существует характерное свойство φi ∈ L, выполнимое только на этом уровне:
где Mi ⊆ M — множество масштабов, адекватных для наблюдения уровня Li, и Mi ∩ Mj = ∅ при i ≠ j.
Рассмотрим класс объектов O ∈ Ω, |O| > 1, для которых существует по крайней мере одно разбиение на уровни, удовлетворяющее Определению 2.3.
Для наблюдательной системы S определим информационную меру I: 2L → ℝ⁺ как:
где Atoms(L) — множество атомарных формул языка L, с условием I(Γ) = ∞ если Γ противоречиво.
Свойства меры:
Для любой нетривиальной наблюдательной системы S = (Ω, N, M, L, P) и для любого иерархического объекта O ∈ Ω с уровнями L₁, L₂ (по Определению 2.3) существуют свойства φ₁, φ₂ ∈ L и пара масштабов (m₁, m₂) ∈ M × M такие, что:
Более того, не существует масштаба m* ∈ M, дающего полное описание:
Часть 1: Существование противоречивых свойств
По Определению 2.3 и Аксиоме 2.4, объект O имеет по крайней мере два уровня L₁ и L₂ с характерными свойствами φ₁ и φ₂, где M₁ ∩ M₂ = ∅.
Выберем m₁ ∈ M₁ и m₂ ∈ M₂. Тогда по Определению 2.3:
Таким образом, на разных масштабах мы получаем противоречивые описания относительно свойств φ₁ и φ₂.
Часть 2: Невозможность полного описания
Предположим противное: ∃ m* ∈ M такое, что P(O, m*) ⊨ φ₁ ∧ φ₂.
Но по Определению 2.3, для любого масштаба m ∈ M выполняется:
так как M₁ ∩ M₂ = ∅ и свойства φ₁, φ₂ исключают друг друга на любом фиксированном масштабе.
Получаем противоречие. Следовательно, такого масштаба m* не существует. □
Для любой наблюдательной системы S = (Ω, N, M, L, P) и иерархического объекта O ∈ Ω с уровнями L₁, L₂ выполняется:
где:
При этом I(P(O, m₁)) > 0 и I(P(O, m₂)) > 0.
Шаг 1: Определение и свойства информационной меры
По Определению 2.5, I(Γ) измеряет количество атомарных фактов, определяемых теорией Γ.
Для любого непротиворечивого Γ ⊂ L выполняется:
Шаг 2: Информация на разных масштабах
Выберем m₁ ∈ M₁ и m₂ ∈ M₂. По Определению 2.3:
Таким образом, I(P(O, m₁)) > 0 и I(P(O, m₂)) > 0.
Шаг 3: Доказательство неравенства
Рассмотрим объединение теорий: Γ = P(O, m₁) ∪ P(O, m₂)
По Теореме 3.1, Γ ⊨ φ₁ ∧ ¬φ₂ ∧ φ₂ ∧ ¬φ₁ ⇒ Γ противоречива.
По свойству субаддитивности информации (следует из Определения 2.5):
Но поскольку Γ противоречива, I(Γ) = ∞, что невозможно если правая часть конечна.
Следовательно, должно выполняться:
где Imax(O) — максимальная информация на любом отдельном масштабе.
Шаг 4: Интерпретация как принципа неопределенности
Неравенство показывает, что сумма информации на двух различных масштабах ограничена сверху. Попытка одновременно максимизировать информацию на обоих масштабах невозможна — увеличение информации на одном масштабе требует ее уменьшения на другом. □
Для иерархического объекта не существует масштаба наблюдения, который одновременно максимизировал бы информацию о всех его уровнях организации. Максимизация информации об одном уровне неизбежно ведет к потере информации о других уровнях.
Научные утверждения истинны только относительно определенного масштаба наблюдения. Не существует "абсолютно истинных" научных утверждений, независимых от масштаба.
Корпускулярно-волновой дуализм является частным случаем Теоремы 3.1, где свойство φ = "объект является волной" зависит от масштаба наблюдения.
Предлагаемая теория предлагает решение старого философского спора между редукционизмом и холизмом: оба подхода верны, но на разных масштабах наблюдения.
| Масштаб | Доминирующий подход | Пример истины | Ограничение подхода |
|---|---|---|---|
| Микро | Редукционизм | "Вода состоит из молекул H₂O" | Не объясняет макроскопические свойства |
| Макро | Холизм | "Вода течет и образует волны" | Не объясняет молекулярную структуру |
| Мезо | Эмерджентность | "Поверхностное натяжение воды" | Свойство возникает только на промежуточных масштабах |
Любое научное знание принципиально неполно и должно сопровождаться явным указанием масштаба наблюдения, в рамках которого оно истинно. Утверждения без указания масштаба являются эпистемически некорректными.
Предлагаемый подход отличается от:
Основные ограничения предлагаемой теории:
Любой достаточно сложный объект в универсуме Ω является иерархическим в смысле Определения 2.3. Сложность объекта может быть формально определена через минимальное количество необходимых уровней описания.
Разработана формальная теория масштабно-зависимых истин и предложены две формальные модели:
Эти результаты имеют далеко идущие последствия для:
Перспективные направления включают:
Предлагаемый подход предполагает, что объективность в науке должна пониматься не как независимость от наблюдателя, а как согласованность описаний на разных масштабах наблюдения. Научный прогресс состоит не в поиске "единственно верного" описания, а в установлении соответствий между описаниями на разных масштабах.